为什么矩阵特征值之和等于矩阵的迹
2019-08-30

在线性代数中,一个 ({nimes n}) 的矩阵 (mathbf{A})的迹(或迹数),是指(mathbf{A})的主对角线(从左上方至右下方的对角线)上各个元素的总和,一般记作 (operatorname{tr}(mathbf{A}))(operatorname{Sp}(mathbf{A}))

下面用多项式根与系数的关系证明矩阵特征值之和等于矩阵的迹

[|lambda E - A|= egin{vmatrix} lambda-a_{11} & -a_{12}&dots & -a_{1n} \ -a_{21} & lambda-a_{22} & dots & -a_{2n} \ cdots&cdots&cdots&cdots \ -a_{n1} & -a_{n2} & dots & lambda-a_{nn} end{vmatrix}=0]

上式是一个以 (lambda) 为未知数的一元n次方程,称为n阶方阵A的特征方程。其左端是 (lambda) 的n次多项式,称为方阵A的特征多项式,显然A的特征值就是特征方程的解。

特征方程在复数范围内恒有解,其个数为方程的次数(重根按重数计算),因此n阶矩阵A有n个特征值。

把特征方程写为: (b_{0}+sum _{{k=1}}^{{n}}b_{k}lambda^{k}=0) 其中 (b_k) 是k次项的系数,由韦达定理(根与系数的关系),则有:

[sum _{{k=1}}^{{n}}lambda_{k}=-{frac{b_{n-1}}{b_{n}}}]

其中 (sum _{{k=1}}^{{n}}lambda_{k}) 是特征方程的解之和(方阵A的特征值之和) 可以看出本例中 (b_n=1) ,则:

[sum _{{k=1}}^{{n}}lambda_{k}=-b_{n-1} quad quad(1)]

现在问题变成了求特征多项式n-1次项的系数 (b_{n-1})

根据行列式定义,行列式是不同行不同列的项的乘积之和,本例中除了主对角线的乘积外,次数都小于n-1,因此n-1次项的系数 (b_{n-1}) 就是 $(lambda-a_{11})(lambda-a_{22})ldots(lambda-a_{nn}) $中 (lambda^{n-1}) 的系数,也就是 (-(a_{11}+a_{22}+ldots+a_{nn})) ,即:

[b_{n-1}=-(a_{11}+a_{22}+ldots+a_{nn})quad quad (2)]

把(2)代入(1),得到:

[sum _{{k=1}}^{{n}}lambda_{k}=a_{11}+a_{22}+ldots+a_{nn}quad]

因此矩阵特征值之和等于矩阵的迹。